Kapitel 28 — Beweisbare Wahrheit und Wirklichkeit

Drei Begriffe, die ineinander geschoben werden

Im Alltag gilt: Was bewiesen ist, ist wahr, und was wahr ist, ist wirklich. Diese Kette ist so selbstverständlich, dass sie kaum auffällt. Sie ist aber an beiden Gliedern brüchig. Nicht alles Wahre ist beweisbar, und Wahrheit ist nicht Wirklichkeit.

Wirklichkeit ist das, was Widerstand leistet, ob wir es erkennen oder nicht. Wahrheit ist eine Eigenschaft dessen, was ein Erkennender über die Wirklichkeit bildet: von Sätzen, Überzeugungen, Bildern. Der Stein ist wirklich, aber nicht wahr; wahr oder falsch ist erst der Satz „Da liegt ein Stein“. Beweisbarkeit schließlich ist die Möglichkeit, eine Wahrheit nach festen Regeln aus anderen herzuleiten.

Die These dieses Kapitels lautet: Die drei Begriffe bilden eine Stufenfolge, in der jede Stufe weniger fasst als die darunter. Beweisbarkeit erfasst nicht alle Wahrheit – das hat Kurt Gödel 1931 für die Mathematik gezeigt. Und Wahrheit erfasst nicht die ganze Wirklichkeit – das folgt aus der biologischen Erkenntnistheorie dieses Buches. Wer die Stufen verwechselt, hält das Bewiesene für die Wirklichkeit und erliegt dem Wirklichkeitsersatz in seiner strengsten Form.

Was ein Beweis ist

Das Wort „Beweis“ meint in verschiedenen Begriffssystemen Verschiedenes. Nur in der Mathematik bedeutet es zwingende Herleitung. Überall sonst bedeutet es: hinreichend gute Gründe, gemessen an einem eigenen Maßstab.

Bereich	Was als Beweis gilt	Maßstab	Gewissheit
Mathematik	lückenlose Herleitung aus Axiomen	logische Regeln	zwingend, aber nur relativ zu den Axiomen
Naturwissenschaft	wiederholbare Beobachtung, bestandene Widerlegungsversuche	Experiment	vorläufig (Popper: bewährt, nie bewiesen)
Medizin	Studienlage, Evidenzstufen	Wahrscheinlichkeit, Signifikanz	statistisch, für Gruppen, nicht für den Einzelnen
Recht	Beweismittel im Verfahren	Überzeugung des Gerichts, „im Zweifel für den Angeklagten“	prozessual: wahr ist, was festgestellt wurde

Die Mathematik ist der einzige Bereich, in dem ein Beweis endgültig ist. Darum galt sie seit Platon als Vorbild aller Erkenntnis. Doch ihr Beweis ist an einen Preis gebunden: Er gilt nur innerhalb der Axiome, von denen er ausgeht. Er sagt, dass etwas folgt, nicht, dass es wirklich ist.

Die Naturwissenschaft hat sich von der Hoffnung auf Beweise verabschiedet. Karl Popper, auch er ein Wiener, hat gezeigt, dass sich eine allgemeine Theorie nie beweisen, sondern nur widerlegen lässt. Sie gilt, solange sie dem Widerstand der Beobachtung standhält. Hier ist der Beweis schon fast dasselbe, was dieses Buch unter Erkenntnis versteht: Bewährung am Widerstand.

Der Arzt kennt die Kluft zwischen beiden Welten aus der Praxis. Eine Studie kann beweisen, dass ein Medikament im Durchschnitt wirkt. Ob es bei dem Menschen wirkt, der vor ihm sitzt, beweist sie nicht. Die Wirklichkeit des einzelnen Patienten liegt jenseits jeder Evidenzstufe.

Woran Wahrheit gemessen wird

Die Philosophie kennt nicht einen Wahrheitsbegriff, sondern mehrere. Sie unterscheiden sich darin, woran eine Aussage gemessen wird.

Wahrheitsbegriff	Wahr ist, was …	Vertreter	Verhältnis zur Wirklichkeit
Korrespondenz	mit der Sache übereinstimmt	Aristoteles, Thomas von Aquin	direkt, setzt aber einen Vergleich voraus, den niemand von außen anstellen kann
Kohärenz	widerspruchsfrei ins System passt	Leibniz, Hegel, Neurath	keines: auch ein Wahn kann kohärent sein
Pragmatische Wahrheit	sich im Handeln bewährt	Peirce, James, Dewey	über den Widerstand der Folgen
Konsens	alle Vernünftigen anerkennen würden	Habermas	über die Gemeinschaft, anfällig für Wahrheitsblasen
Formale Wahrheit	in einem Modell gilt	Tarski, Gödel	über eine gemeinte Struktur
Existenzielle Wahrheit	man lebt und für das man einsteht	Kierkegaard	über das eigene Leben
Unverborgenheit	sich zeigt, bevor wir es benennen	Heidegger (aletheia)	vor jedem Satz

Daneben steht ein Begriff, der keine Eigenschaft eines Satzes ist, sondern eines Sprechers: die Wahrhaftigkeit. Wahrhaftig ist, wer meint, was er sagt. Ein Satz kann wahr sein, ohne wahrhaftig gesagt zu sein, und wahrhaftig gesagt, ohne wahr zu sein.

In der biologischen Erkenntnistheorie dieses Buches steht die pragmatische Wahrheit am nächsten an der Wirklichkeit: Wahr ist, was sich am Widerstand bewährt. Die Kohärenzwahrheit steht am weitesten entfernt. Sie ist die Wahrheit der Systeme, und mit ihr kann sich jede Stufe des Turms gegen die Wirklichkeit abschließen. Die Beweisbarkeit ist ihre strengste Form.

Gödel und Tarski: Wahrheit jenseits des Beweises

Die meisten Darstellungen fassen Gödel in einem Satz zusammen: Es gibt wahre Sätze, die man nicht beweisen kann. Das stimmt, doch es verdeckt, was „wahr“ dabei bedeutet. Dazu muss man ein Ergebnis kennen, das Gödel zwei Jahre früher bewiesen hat.

Der Vollständigkeitssatz (1929). In seiner Dissertation an der Universität Wien zeigte Gödel, dass in der Logik erster Stufe ein Satz genau dann beweisbar ist, wenn er in allen Modellen der Axiome gilt – also in allen Strukturen, die die Axiome erfüllen. Beweisbarkeit heißt hier: Wahrheit überall, wo die Axiome gelten.

Die Unvollständigkeitssätze (1931). Für jedes widerspruchsfreie, hinreichend starke formale System der Arithmetik lässt sich ein Satz G konstruieren, der in diesem System weder beweisbar noch widerlegbar ist. Da G nicht beweisbar ist, gilt er nach dem Vollständigkeitssatz nicht in allen Modellen. Er gilt aber im Standardmodell, in den gewöhnlichen natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 …, die wir meinen, wenn wir „Zahl“ sagen. Daneben gibt es Nichtstandardmodelle, die alle Axiome erfüllen und in denen G falsch ist.

„Wahr, aber unbeweisbar“ heißt also genau: wahr in der Struktur, die wir meinen, aber nicht in jeder Struktur, die unsere Axiome zulassen. Die Axiome können die natürlichen Zahlen nicht eindeutig festlegen. Das Gemeinte reicht weiter als das Gesagte.

Tarskis Satz (1933). Alfred Tarski hat die Ergänzung geliefert. Ein hinreichend starkes formales System kann den Begriff „wahr“ für seine eigenen Sätze nicht definieren. Wahrheit lässt sich nur in einer Metasprache bestimmen, eine Stufe darüber, und diese braucht wieder eine darüber.

Zusammen ergeben Gödel und Tarski ein klares Bild. Beweisbarkeit ist eine Eigenschaft innerhalb eines Systems. Wahrheit ist ein Verhältnis zwischen dem System und etwas außerhalb – der gemeinten Struktur. Kein System kann dieses Verhältnis von innen vollständig erfassen. Der Turm aus Logik hat, wie der Turm von Babel, kein oberstes Stockwerk.

Gödels Platonismus und die biologische Erkenntnistheorie

Was ist die „gemeinte Struktur“, in der G wahr ist? Gödel hatte darauf eine entschiedene Antwort. Er war Platoniker: Mathematische Gegenstände existieren unabhängig vom Menschen, wie Sterne oder Steine. In seinem Aufsatz über Cantors Kontinuumproblem (1947, erweitert 1964) schreibt er, wir besitzen eine Art Wahrnehmung mathematischer Gegenstände, die mathematische Intuition, und es gebe keinen Grund, ihr weniger zu vertrauen als der Sinneswahrnehmung. Für Gödel ist mathematische Wahrheit die Wiedergabe einer mathematischen Wirklichkeit, die wir entdecken, nicht erfinden.

Hier liegt eine echte Spannung zur Erkenntnistheorie dieses Buches, und sie soll nicht geglättet werden. Gödel würde sagen: Die mathematische Wahrheit ist nicht durch die biologische Ausstattung des Menschen begrenzt; begrenzt ist nur, was davon formal bewiesen werden kann. Die biologische Erkenntnistheorie antwortet: Auch die mathematische Intuition ist ein Vermögen eines Gehirns. Dass wir „die“ natürlichen Zahlen meinen können, obwohl kein Axiomensystem sie festlegt, ist selbst ein biologischer Befund.

Für die biologische Deutung spricht einiges. Säuglinge und viele Tiere unterscheiden kleine Mengen, ohne zählen zu können. Der Neurowissenschaftler Stanislas Dehaene hat in „The Number Sense“ (1997) beschrieben, wie ein evolutionär altes Mengengefühl die Grundlage bildet, auf der Kultur die Zahlen aufbaut. Die Folge 0, 1, 2, 3 … wäre dann keine Entdeckung in einem Ideenreich, sondern die Verlängerung einer Passung, die sich am Widerstand der Dinge – eins, zwei, viele – gebildet hat.

Für Gödel spricht etwas anderes: die unheimliche Wirksamkeit der Mathematik. Der Physiker Eugene Wigner hat 1960 darauf hingewiesen, dass mathematische Strukturen, die aus reinem Denken gewonnen wurden, sich später als genau passend für die Natur erwiesen. Wenn Mathematik nur eine biologische Passung wäre, warum reicht sie dann so weit über alles hinaus, woran sie sich gebildet haben könnte?

Die Frage ist offen. Sie markiert eine Grenze der Erkenntnis im genauen Sinn dieses Buches: Wir können nicht außerhalb unseres Gehirns treten, um zu prüfen, ob die Zahlen, die wir meinen, auch ohne uns da wären. Auch Gödels Intuition ist eine Wahrnehmung, und auch sie ist an einen Wahrnehmenden gebunden.

Drei Stufen, zwei Grenzen

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Die Beweisbarkeit liegt innerhalb der Wahrheit, die Wahrheit innerhalb der Wirklichkeit. Die erste Grenze hat Gödel mit den Mitteln der Logik bewiesen; die zweite lässt sich nicht beweisen, nur am Widerstand erfahren.

TI: Beweisführung ohne Widerstand

Die Technische Intelligenz ist ein formales System. Auf sie trifft zu, was Gödel und Tarski über formale Systeme gezeigt haben: Sie kann ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht aus sich heraus beweisen, und sie kann den Begriff der Wahrheit für ihre eigenen Sätze nicht vollständig fassen.

Daraus ist oft mehr gefolgert worden, als folgt. Der Philosoph John Lucas (1961) und der Physiker Roger Penrose (1989, 1994) haben argumentiert, der menschliche Geist sei jeder Maschine überlegen, weil er die Wahrheit des Gödelsatzes einsehen könne, die Maschine aber nicht. Die meisten Logiker halten das Argument für fehlerhaft: Der Mensch kann die Wahrheit von G nur einsehen, wenn er weiß, dass das System widerspruchsfrei ist – und das weiß er im Allgemeinen nicht.

Gödel selbst war vorsichtiger. In seiner Gibbs-Vorlesung von 1951 formulierte er eine Disjunktion: Entweder übersteigt der menschliche Geist jede endliche Maschine, oder es gibt mathematische Probleme, die absolut unentscheidbar sind, auch für den Menschen. Mehr lässt sich aus seinen Sätzen nicht sicher ableiten. Gödel neigte zur ersten Möglichkeit, hat sie aber nicht bewiesen.

Die biologische Erkenntnistheorie führt an dieser Stelle weiter als die Logik. Der entscheidende Unterschied zwischen Mensch und TI liegt nicht in der Beweiskraft, sondern im Widerstand. Die TI kann beweisen, wenn man ihr Axiome gibt, und sie kann kohärente Sätze bilden, wenn man ihr Texte gibt. Was ihr fehlt, ist eine Lebensgegebenheit, an der sich ihre Sätze bewähren oder scheitern könnten. Sie bewegt sich ganz in der Kohärenzwahrheit und in der formalen Wahrheit – auf den oberen Stufen, die am weitesten von der Wirklichkeit entfernt sind.

Deshalb kann sie korrekt sein, aber nicht wahrhaftig. Ein Satz der TI kann mit der Sache übereinstimmen, doch niemand meint ihn. Was sie liefert, ist Wahrheitsersatz: Sätze mit der Form der Wahrheit, ohne Prüfung am eigenen Widerstand.

Schluss: Das Bewiesene ist nicht das Wirkliche

Die Mathematik ist das stärkste Werkzeug, das der Mensch zur Erkenntnis besitzt. Gerade deshalb ist es wichtig, ihre Grenze genau zu kennen. Ein Beweis zeigt, dass etwas aus Axiomen folgt. Ob es wahr ist, entscheidet sich an der gemeinten Struktur. Und ob es wirklich ist, entscheidet sich am Widerstand.

Gödel hat die erste dieser Grenzen von innen her bewiesen, mit den Mitteln der Logik selbst. Die zweite Grenze, die zwischen Wahrheit und Wirklichkeit, lässt sich nicht beweisen, sondern nur erfahren – von einem Lebewesen, das auf Widerstand stößt. Hier endet die Logik, und hier beginnt die biologische Erkenntnistheorie.

Gödels eigenes Leben macht das auf bittere Weise sichtbar. Der Mann, der die Grenzen formaler Gewissheit bewiesen hatte, verlor gegen Ende seines Lebens den Kontakt zum Widerstand der Wirklichkeit. Aus Angst, vergiftet zu werden, aß er nur noch, was seine Frau Adele vorgekostet hatte. Als sie 1977 ins Krankenhaus musste, hungerte er. Er starb im Januar 1978 in Princeton; der Totenschein nennt Unterernährung und Entkräftung. Die strengste Logik schützt nicht vor dem Wirklichkeitsersatz – sie kann ihn sogar lückenlos begründen.

Literatur

• Dehaene, S.: The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press, New York 1997.
• Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatshefte für Mathematik und Physik 37 (1930), 349–360.
• Gödel, K.: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), 173–198.
• Gödel, K.: What is Cantor’s continuum problem? American Mathematical Monthly 54 (1947), 515–525; erweiterte Fassung 1964.
• Gödel, K.: Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications (Gibbs Lecture, 1951). In: Collected Works, Bd. III. Oxford University Press 1995.
• Lucas, J. R.: Minds, Machines and Gödel. Philosophy 36 (1961), 112–127.
• Penrose, R.: Shadows of the Mind. Oxford University Press 1994.
• Popper, K.: Logik der Forschung. Springer, Wien 1935.
• Tarski, A.: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen. Studia Philosophica 1 (1935), 261–405 (poln. 1933).
• Wigner, E.: The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1960), 1–14.